Eventos (diagrama de venn)

EXPERIMENTO ESTADÍSTICO:

y puede ser determinístico o aleatorio.

Es el proceso mediante el cual se genera un conjunto de datos

ESPACIO MUESTRAL:

denotado por

Son todos los posibles resultados que se obtienen de un experimentoS o .

S

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

EVENTO SIMPLE:

Son los eventos constituidos por un sólo elemento.A

EVENTO COMPUESTO:

simples.

Es cualquier evento que se puede descomponer en dos o más eventosB

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:

simultáneamente, es decir, la ocurrencia de ellos excluye la ocurrencia de los otros.

Llamados también disjuntos, no pueden ocurrirA∩

EVENTOS INDEPENDIENTES:

ocurrencia de otro evento.

Cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no afecte la

EVENTOS DEPENDIENTES:

ocurrencia de Si los eventos A y B están relacionados de tal modo que laB depende de la ocurrencia de A, entonces A y B son independientes.B = ∅= {2, 4, 6}= {4}

Diagrama de Venn-Euler

Un diagrama de Venn es una representación pictórica de conjuntos en el plano. El conjunto universal

U

operación se representa mediante el sombreado de los elementos del conjunto.

2 A^B

3 A^C

4 A\B

5 A\(A^B)

6 A∆B

7 (AUB) ^C

8 (A^C ^ B ^C)

9 (A^B) ^C

10. (A^C U B ^C)

11. A^B^C

12. (A∆B) ∆C

Teorema

A∆B = (AUB)\ (A^B)

Demostración

A∆B = (AUB^C) U (A^B^C)

A∆B = ((AUB) ^ (BUB^C)) ^ ((AUA^C) ^ (B^CUA^C))

A∆B = ((AUB) ^ U) ^ (U ^ (B^CUA^C))

A∆B = (AUB) ^ (B^CUA^C)

A∆B = (AUB) ^ (B ^ A) ^C

A∆B = (AUB) ^ (A ^ B) ^C

A∆B = (AUB)\ (A^B)

Ejemplos

1. (A^C ^ B) ^C U (AUC)

2. (AUB^C) ^C ^ (CUA) ^C

3. (A^ B^C) ^C U ((A^ C) ^C \ (B ^ A) ^C)

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A= {1, 2, 4, 5}

B= {2, 3, 4 ,6}

C= {4, 5, 6, 7}

4. ((AUB^C) ^C ∆ (C^A) ^C)\ (B^A)

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A= {1, 2, 4, 5}

B= {2, 3, 4 ,6}

C= {4, 5, 6, 7}

{1, 7, 8}

se representa por un rectángulo, cualquier otro conjunto se representa con un círculo. Una

Leyes de conjuntos

DE IDEMPOTENCIA

A∪

 

ASOCIATIVA

(

(

 

A∪

B = B∪ A     A∩ B = B∩ A

DISTRIBUTIVA

A ∪

(B∩  C) = (A∪B)∩  (A∪ C)

A ∩

DE IDENTIDAD

(B ∪C) = (A∩B)∪ (A∩C)

A∪

A ∪∅

DE INVOLUCIÓNA’)’ = A

DE COMPLEMENTO

A

∪A’ = U       A∩ A’ = ∅

U

’= ∅   ∅’= U

D’MORGAN

(

PRINCIPIO DE CONTEO

A∪B)’ = A’∩B’          (A ∩ B)’= A’∪B’

n

(A∪ B) = n(A) + n(B) A∩ B =∅n(A ∪B) = n(A) + n(B) - n(A ∩B) A∩ B ≠  ∅

(

U = U A∩ U = A= A        A∩ ∅= ∅ 

CONMUTATIVA

A ∪B)∪ C = A∪ (B ∪C )A ∩B)∩ C = A ∩(B ∩C)

A = A        A∩A = A

Operacion de conjuntos

UNIÓN DE CONJUNTOS.

unión de

pertenecen a

Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. LaA y B, expresada por A∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A oB.A

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.

universal. La intersección de

pertenecen a

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjuntoA y B, expresada por A ∩B, es el conjunto de todos los elementos queA y a B simultáneamente, es decir:A

DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO.

cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de

el conjunto de los elementos que pertenecen a

Sean A y B dos conjuntosB con respecto a A, esA, pero no pertenecen a B.

A

Nota:

COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE COMPLEMENTO.

cualesquiera del conjunto universal. El complemento de

perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto

Sea A un subconjuntoA es el conjunto de elementos queA, denotado por A’ o Ac.

A

Nota:

PRODUCTO CARTESIANO.

cartesiano expresado por

Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o productoA x B está formado por las parejas ordenadas (a, b) donde a ∈A y b ∈ B.A
x B = {(a, b) | a∈A y b∈B}’ = {x | x ∈U, x ∉A}A’ = U - A- B = {x | x ∈ A, x ∉B}A - B ≠ B - AB = {x | x ∈A y x ∈ B}B = {x | x ∈A o x ∈ B}

Relacion de conjuntos

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Considerando el conjunto

cada elemento que pertenece a

A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, siA también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B

pertenece también a

A.

A

SUBCONJUNTO

= B

Si todo elemento de un conjunto

un subconjunto de

A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A esB. Representado por el símbolo ⊂ .

A ⊂

A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B

SUBCONJUNTOS PROPIOS

Se dice que es un subconjunto propio de

incluidos en él

A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B

CONJUNTO POTENCIA

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es

finito con

n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos.

A

El total de subconjuntos es:

2

{1,2}, {1}, {2}, { }

= {1, 2 }2 = 4

CONJUNTOS DISJUNTOS

Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que

pertenezcan a ambos.

F

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

G

= {a, b, c, d, e, f}

PARTICIÓN

Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se le

denomina partición.

A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentranA, denotado por ⊆.B

Tipos de conjuntos

CONJUNTO VACIÓ O NULO:

Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por∅ o { }.

A

El conjunto

= {x2 + 1 = 0 | x ∈ R}A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0

CONJUNTO UNIVERSAL:

o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por Es el conjunto de todos los elementos considerados en una poblaciónU o por omega.

definicion y notacion de conjuntos

El término

Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría

de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 – 1918).

Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con

características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.

Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:

La colección de elementos debe estar bien definida.

Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos

deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.

El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.

conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas;

NOTACIÓN

A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas

minúsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el conjunto

lanzamiento de un dado.

A, B, C, ... y a los elementos con letrasA cuyos elementos son los números en el

A

En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos

finitos e infinitos.

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

FINITOS:

longitud o cantidad.

Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su

El conjunto de días de la semana

INFINITOS:

Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.

El conjunto de los números reales

Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de

expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:

EXTENSIÓN:

Cuando se describe a cada uno de los elementos.

A

= {a, e, i, o, u}

COMPRENSIÓN:

Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.

A

Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es

elemento de, con el símbolo

= {x | x es una vocal} , en caso contrario .

A

2= {1, 2, 3}∉A; 5∉A